tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z. Bài tập mẫu về số phức thuần ảo. ĐỀ BÀI: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z = -2 + 5 B. z = 5 C. z = -2 D. z = √5 + BÀI GIẢI. Số ảo là . Nếu a=0, số phức được gọi là thuần ảo. Thỏa điều
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \ ( (2+3i)z+ (4+i)\bar {z}=- (1+3i)^2\). Tìm phần thực và phần ảo của z. Theo dõi Vi phạm Toán 12 Bài 3 Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3 Giải bài tập Toán 12 Bài 3 Trả lời (1) + Đặt \ (z=a+bi (a,b\in R)\), ta có: \ ( (2+3i)z+ (4+i)\bar {z}=- (1+3i)^2\Leftrightarrow (2+3i) (a+bi)+ (4+i) (a-bi)=- (1+3i)^2\)
Câu 4.3: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó ; b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó ; c) Phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1;
Vay Nhanh Fast Money. Chuyên đề tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 42 của đề tham khảo môn Toán 2021. TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Số phức là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,{\rm{ }}b$ là các số thực và số $i$ thỏa mãn ${i^2} = – 1$. Kí hiệu $z = a + bi.$ $i$ đơn vị ảo, $a$ phần thực, $b$ phần ảo. Chú ý * $z = a + 0i = a$ được gọi là số thực $a \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ * $z = 0 + bi = bi$ được gọi là số ảo hay số thuần ảo * $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo 2. Biểu diễn hình học của số phức. * $M\left {a;b} \right$ biểu diễn cho số phức $z \Leftrightarrow z = a + bi$ 3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z = z’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$ 4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z + z’ = \left {a + a’} \right + \left {b + b’} \righti$ $z – z’ = \left {a – a’} \right + \left {b – b’} \righti$ 5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $\begin{array}{l} = \left {aa’ – bb’} \right + \left {ab’ + a’b} \righti\\ka + bi = ka + kbi\,\,k \in \mathbb{R}\end{array}$ 6. Môđun của số phức $z = a + bi$ Số thực $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ gọi là môdul của số phức $z = a + bi.$ $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ với $M\left {a;b} \right$ là điểm biểu diễn số phức $z.$ $\left z \right \ge 0,\;\forall z \in C\;,\,\,\left z \right = 0 \Leftrightarrow z = 0$. $\left { \right = \left z \right.\left {z’} \right$; $\left {\frac{z}{{z’}}} \right = \frac{{\left z \right}}{{\left {z’} \right}}$; $\left {\left z \right – \left {z’} \right} \right \le \left {z \pm z’} \right \le \left z \right + \left {z’} \right$. 7. Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $z’ = a’ + b’i$ * $\overline{\overline z} = z$ * $\overline {z \pm z’} = \overline z + \overline {z’} $ * $\left {\overline z } \right = \left z \right$ * $\overline { = \overline z .\overline {z’} $ * $z + z’ = 2a$ * $\overline {\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$ * $z.\overline z = {a^2} + {b^2} = {\left z \right^2}$ 8. Chia hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ Thương của $z’$ chia cho$z\left {z \ne 0} \right$ $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{z\overline z }} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left z \right}^2}}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}i$ 9. Căn bậc hai của số phức. $w = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$ $\left\{ \begin{array}{c}{x^2} – {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$. Số $0$ có một căn bậc hai là số $w = 0.$ Số $z \ne 0$ có hai căn bậc hai đối nhau là $w$ và $–{\rm{ }}w.$ Hai căn bậc hai của số thực $a > 0\;$ là $ \pm \sqrt a $. Hai căn bậc hai của số thực $a 0$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức ${x_{1,}}_2 = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI Mức độ 2 Câu 1. Biết $z = a + bi$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ là số phức thỏa mãn $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$. Tổng $a + b$ là A. $a + b = 5$. B. $a + b = – 1$. C. $a + b = 9$. D. $a + b = 1$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo đề bài ta có $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left {3 – 2i} \right\left {a + bi} \right – 2i\left {a – bi} \right = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow 3a – \left {4a – 3b} \righti = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 15\\4a – 3b = 8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.$. Vậy $a + b = 9$. Câu 2. Cho số phức $z = a + bi$ trong đó $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i$. Tính $ab$. A. $ab = 6$. B. $ab = – 3$. C. $ab = 3$. D. $ab = – 6$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$ $ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Khi đó $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left {a + bi} \right – \left {4 + 5i} \right\left {a – bi} \right = – 17 + 11i$ $ \Leftrightarrow \left { – a – 5b} \right – \left {5a – 7b} \righti = – 17 + 11i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – a – 5b = – 17\\ – 5a + 7b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + 3i$. Vậy $ab = 6$. Câu 3. Cho hai số phức $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$ và $w = 1 – 2i$. Biết $z = Tính $S = a + b$. A. $S = – 7$. B. $S = – 4$. C. $S = – 3$. D. $S = 7$. Lời giải Chọn A Ta có $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$$ = \left {1 – 2i} \right.i$$ = 2 + i$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a – 2b = 2}\\{ – a + b = 1}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – 4}\\{b = – 3}\end{array}} \right.$. Vậy $S = a + b$$ = – 7$. Câu 4. Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$, gọi số phức $z = a + b{\rm{i}}$ là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S = 2a + b$. A. $0$. B. $ – 4$. C. $2$. D. $ – 2$ Lời giải Chọn C Ta có $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$$ \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + b{\rm{i}}} \right = \left {a + 3} \right$$ \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {b^2} = {\left {a + 3} \right^2}$$ \Leftrightarrow {b^2} = 4a + 8$. Do đó ${\left z \right^2} = {a^2} + {b^2}$$ = {a^2} + 4a + 8$$ = {\left {a + 1} \right^2} + 4 \ge 4$. $\min \left z \right = 2$ khi và chỉ khi $z = – 1 + 4{\rm{i}}$. Suy ra $S = 2a + b = 2$ Câu 5. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 6. Cho số phức $z = a + bi\,\left {a,\,b \in \mathbb{Z}} \right$ thỏa mãn $\left {z + 2 + 5i} \right = 5$ và $z.\bar z = 82$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$. A. $10$. B. $ – 8$. C. $ – 35$. D. $ – 7$. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a + 2} \right}^2} + {{\left {b + 5} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 82\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ – 5b – 43}}{2}\,\,\,\left 1 \right\\{a^2} + {b^2} = 82\,\,\,\,\,\left 2 \right\end{array} \right.$ Thay $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được $29{b^2} + 430b + 1521 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 9\\b = \frac{{ – 169}}{{29}}\end{array} \right.$ Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên $b = – 9 \Rightarrow a = 1$. Do đó $P = a + b = – 8$. Câu 7. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 8. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$. Tìm môđun của $\overline z + iz$. A. $4\sqrt 2 $. B. $4$. C. $8\sqrt 2 $. D. $8$. Lời giải Chọn C $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$$ \Leftrightarrow \overline z = – 4 – 4i$$ \Rightarrow $$z = – 4 + 4i$ $iz = i\left { – 4 – 4i} \right = – 4 – 4i$ $\overline z + iz = – 4 – 4i + \left { – 4 – 4i} \right = – 8 – 8i$ $\left {\overline z + iz} \right = \sqrt {{{\left { – 8} \right}^2} + {{\left { – 8} \right}^2}} = 8\sqrt 2 $ Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}}.$Tính modun của số phức ${\rm{w}} = i.\mathop z\limits^ – + z?$ A. ${\rm{w = 4}}\sqrt 2 $. B. ${\rm{w = }}\sqrt 2 $. C. ${\rm{w = 3}}\sqrt 2 $. D. ${\rm{w = 2}}\sqrt 2 $. Lời giải Chọn C Ta có $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}} = – 1 + 2i.$ $ \Rightarrow z = – 1 – 2i.$ $ \Rightarrow $${\rm{w}} = i. – 1 + 2i + – 1 – 2i = – 3 – 3i$. $ \Rightarrow $${\rm{w = }}\sqrt {{{ – 3}^2} + {{ – 3}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 $. Câu 10. Cho số phức $z = a + bi$, với $a,\,\,b$ là các số thực thỏa mãn $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i$, với $i$ là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $\omega = 1 + z + {z^2}$. A. $\left \omega \right = \sqrt {229} $. B. $\left \omega \right = \sqrt {13} $ C. $\left \omega \right = 229$. D. $\left \omega \right = 13$. Lời giải Chọn A Ta có $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = – 4\\b + 2a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 3\end{array} \right.$. Suy ra $z = 2 – 3i$ Do đó $\omega = 1 + z + {z^2} = – 2 – 15i$. Vậy $\left \omega \right = \sqrt {{{\left { – 2} \right}^2} + {{\left { – 15} \right}^2}} = \sqrt {229} $ Mức độ 3 Câu 1. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2} \right = \left z \right$ và $\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right$ là số thực. A. $z = 1 + 2i.$ B. $z = – 1 – 2i.$ C. $z = 2 – i.$ D. $z = 1 – 2i.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 2} \right = \left z \right\\\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left { – x – 1} \right\left {y + 1} \right + xy = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.$ Câu 2. Giả sử ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $\left {\left {2 + {\rm{i}}} \right\left z \rightz – \left {1 – 2{\rm{i}}} \rightz} \right = \left {1 + 3{\rm{i}}} \right$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$. Tính $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$. A. $M = 19$. B. $M = 25$. C. $M = 5$. D. $M = \sqrt {19} $. Lời giải Chọn D Từ giả thiết, ta có $\left {\left {2\left z \right – 1} \right + \left {\left z \right + 2} \right{\rm{i}}} \right.\left z \right = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left {2\left z \right – 1} \right}^2} + {{\left {\left z \right + 2} \right}^2}} \right].{\left z \right^2} = 10$ $ \Leftrightarrow 5{\left z \right^4} + 5{\left z \right^2} – 10 = 0$$ \Leftrightarrow \left z \right = 1$ vì $\left z \right \ge 0$. Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}{\rm{i}}$ và ${z_2} = {x_2} + {y_2}{\rm{i}}$. Ta có $\left {{z_1}} \right = \left {{z_2}} \right = 1$ nên $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1$. Mặt khác, $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$ nên ${\left {{x_1} – {x_2}} \right^2} + {\left {{y_1} – {y_2}} \right^2} = 1$. Suy ra ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \frac{1}{2}$. Khi đó $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$$ = \sqrt {{{\left {2{x_1} + 3{x_2}} \right}^2} + {{\left {2{y_1} + 3{y_2}} \right}^2}} $ $ = \sqrt {4\left {x_1^2 + y_1^2} \right + 9\left {y_1^2 + y_2^2} \right + 12\left {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}} \right} $ Vậy $M = \sqrt {19} $. Do đó ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} $ \Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}{\left z \right^2} = 18$ $ \Leftrightarrow $$\left z \right = 6$. Câu 3. Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8$. Tìm môđun của số phức $w = {z_1} + {z_2} – 2 + 4i$. A. $\left w \right = 6$. B. $\left w \right = 16$. C. $\left w \right = 10$. D. $\left w \right = 13$. Lời giải Chọn A Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1}$, $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_2}$. Theo giả thiết ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ nên $A$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $r = 5$. Mặt khác $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8 \Leftrightarrow AB = 8$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M$ là điểm biểu diễn của số phức $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}$ và $IM = 3$. Do đó ta có $3 = IM = \left {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} – 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow 3 = \frac{1}{2}\left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right \Leftrightarrow \left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left w \right = 6$. Câu 4. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo và $\left {z – 2i} \right = 1$? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. Vô số. Lời giải Chọn A Đặt $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ ta có $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = 2a – b + ai$. Mà $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ \Leftrightarrow b = 2a$. Mặt khác $\left {z – 2i} \right = 1$ nên ${a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {2a – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5}\end{array} \right.$. Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 $ và ${\left {z + 2i} \right^2}$ là số thuần ảo? A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$, khi đó $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {\left {y – 3} \right^2} = 18\,\,\,\,\left 1 \right$. ${\left {z + 2i} \right^2} = {\left[ {x + \left {y + 2} \righti} \right]^2} = {x^2} – {\left {y + 2} \right^2} + 2x\left {y + 2} \righti$. Theo giả thiết ta có ${x^2} – {\left {y + 2} \right^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left {y + 2} \right\end{array} \right.$. Trường hợp 1 $x = y + 2$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} = 0$ và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức ${z_1} = 2$. Trường hợp 2 $x = – \left {y + 2} \right$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0$ và giải ra ta được $\left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$, ta được $2$ số phức $\left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left {1 + \sqrt 5 } \righti\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left {1 – \sqrt 5 } \righti\end{array} \right.$. Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left {z – 1} \right^2} + \left {z – \overline z } \righti + \left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = 1$? A. 4 B. C. 1 D. 3 Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi$; $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Ta có ${\left {z – 1} \right^2} = {\left {a + bi – 1} \right^2} = {\left {a – 1} \right^2} + {b^2}$, $\left {z – \overline z } \righti = \left {a + bi – a + bi} \righti = \sqrt {{{\left {2b} \right}^2}} i = 2\left b \righti$, ${i^{2019}} = – i$, $\left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = – i\left {a + bi + a – bi} \right = – 2ai$. Suy ra phương trình đã cho tương đương với ${\left {a – 1} \right^2} + {b^2} + 2\left b \righti – 2ai = 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 1\\2\left b \right – 2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – 2a + {b^2} = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left b \right^2} – 2\left b \right = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left b \right = 0\\\left b \right = 1\end{array} \right.\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$ Vậy có 3 số phức $z$thỏa mãn. Câu 7. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right$ và ${z^2}$ là số thuần ảo A. $4$ B. $2$ C. $3$ D. $5$ Lời giải Gọi số phức $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$. Ta có ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \left {2a} \right + \left {2bi} \right$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left a \right + 2\left b \right\,\,\left 1 \right$. Lại có ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo, suy ra ${a^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b$ Trường hợp 1 $a = b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a = b = \pm 2\end{array} \right.$. Trường hợp 2 $a = – b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \mp 2\end{array} \right.$. Vậy có $5$ số phức thỏa mãn bài toán là $z = 0$, $z = 2 \pm 2i$, $z = – 2 \pm 2i$ Câu 8. Cho số phức $z = a + b{\rm{i}}$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn các điều kiện $z – \bar z = 4{\rm{i}}$ và $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4$. Giá trị của $T = a + b$ bằng A. $3$. B. $ – 3$. C. $ – 1$. D. $1$. Lời giải Chọn D Ta có $z – \bar z = 4{\rm{i}} \Rightarrow \left {a + b{\rm{i}}} \right – \left {a – b{\rm{i}}} \right = 4{\rm{i}} \Leftrightarrow 2b = 4 \Leftrightarrow b = 2$. Mặt khác $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Rightarrow \left {a + 2{\rm{i}} + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + 4{\rm{i}}} \right = 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {4^2}} = 4 \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} = 0 \Leftrightarrow a = – 1$. Vậy $z = – 1 + 2{\rm{i}}$. Suy ra $T = a + b = – 1 + 2 = 1$. Câu 9. Cho số phức $z = a + bi,\,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0.$ Tính tỷ số $T = \frac{a}{b}.$ A. $T = \frac{2}{5}$. B. $T = – \frac{3}{5}$. C. $T = \frac{3}{5}$. D. $T = 5$. Lời giải Chọn C Ta có $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{z\,\bar z}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right\left {1 + i} \right}}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \bar z + 2iz + z + iz + i – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow a – bi + a + bi + 3ia + bi + i – 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left {2a – 3b – 1} \right + \left {3a + 1} \righti = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – 3b – 1 = 0\\3a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – \frac{5}{9}\end{array} \right.$. Vậy $T = \frac{3}{5}.$ Câu 10. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}}$. Khi đó số phức ${\rm{w}} = z + 1 – 2i$ có phần ảo? A. ${2^{1009}} – 1$. B. $ – 2$. C. $ – 3$. D. ${2^{1009}} – 4$. Lời giải Chọn C $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}} \Leftrightarrow \left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right = {\left {1 + i} \right^{2020}}$ $ \Rightarrow z = \frac{{{{\left[ {{{\left {1 + i} \right}^2}} \right]}^{1010}}}}{{\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right}} + 3 – i = \frac{{{{\left {2i} \right}^{1010}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left[ {{{\left {2i} \right}^2}} \right]}^{505}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left { – 4} \right}^{505}}}}{2} + 3 – i = – {2^{1009}} + 3 – i$. Vậy ${\rm{w}} = z + 1 – 2i = – {2^{1009}} + 3 – i + 1 – 2i = – {2^{1009}} – 3i + 4$ Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 . Câu 11. Cho số phức $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 $ và $z$ có phần thực lớn hơn phần ảo $2$ đơn vị. Tính $S = a + b$. A. $S = 2$ và $S = 6$. B. $S = 4$ và $S = 3$. C. $S = 4$ và $S = 6$. D. $S = – 2$ và $S = 4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a – bi – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 2} \right}^2} + {{\left {3 – b} \right}^2}} = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {\left {3 – b} \right^2} = 5\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} – 6b + 4 = 0\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy $S = 3 + 1 = 4$ và $S = 4 + 2 = 6$. Câu 12. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\bar z + 4 – i} \right$ và $\left {z – 2} \right = \sqrt {10} $? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\overline z + 4 – i} \right\\\left {z – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 1 + 2i} \right = \left {a – bi + 4 – i} \right\\\left {a + bi – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {\left {b + 2} \right^2} = {\left {a + 4} \right^2} + {\left[ { – \left {b + 1} \right} \right]^2}\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 10a + 2b = 12\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\{\left {a – 2} \right^2} + {\left {6 + 5a} \right^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\26{a^2} + 56a + 30 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = – \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{15}}{{13}}\\b = \frac{3}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = – 1 + i$ và $z = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{3}{{13}}i$. Câu 13. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. $z = 1 – 2i$. B. $z = – \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$. C. $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i$. D. $z = – 1 + 2i$. Lời giải Chọn C Giả sử $z = x + yi\,\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right \Leftrightarrow \left {x + \left {y + 3} \righti} \right = \left {\left {x + 2} \right + \left {y – 1} \righti} \right \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y + 3} \right^2} = {\left {x + 2} \right^2} + {\left {y – 1} \right^2}$ $ \Leftrightarrow 6y + 9 = 4x + 4 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x – 8y – 4 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 1$ $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left {2y + 1} \right}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left {y + \frac{2}{5}} \right}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ Suy ra ${\left z \right_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ khi $y = – \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}$ Vậy $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.$ Câu 14. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực khác $0$, thỏa mãn $\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5$ và $z.\overline z = 25$? A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Điều kiện $a \ne 0$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5\\z.\overline z = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 3 – i} \right = 5\\\left {a + bi} \right\left {a – bi} \right = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 3} \right}^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – 3a – b = 0\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\{a^2} + {\left {5 – 3a} \right^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\10{a^2} – 30a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = 0l\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 3n\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 3 – 4i$. Câu 15. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $ và ${z^2}$ là số thuần ảo? A. $2$. B. $3$. C. $4$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 6} \right^2} + {b^2} = 20$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0$1. Mặt khác ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo nên ${a^2} – {b^2} = 0$ hay ${a^2} = {b^2}$. Thay ${b^2} = {a^2}$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.$. Với $a = 4$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 4$. Với $a = 2$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 2$. Vậy có 4 số phức $z$ thỏa đề $z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i$. Câu 16. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2i} \right = 1$ và $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo? A. $4$. B. $3$. C. $2$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 4b + 3 = 0$1. Mặt khác $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = a + bi + ai – b + a – bi = 2a – b + ai$ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$ hay $b = 2a$. Thay $b = 2a$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + 4{a^2} – + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.$. Với $a = 1$, ta có $b = 2$. Với $a = \frac{3}{5}$, ta có $b = \frac{6}{5}$. Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = 1 + 2i,z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$. Câu 17. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần ảo nguyên thỏa mãn $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $ và $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right$ là số thực? A. $1$. B. $2$. C. $4$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{Z}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 5$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2a – 4 = 0$1. Mặt khác $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right = \left {a + bi – i} \right\left {a – bi + 2} \right = {a^2} + {b^2} + 2a – b + \left {2b – a – 2} \righti$ là số thực nên $2b – a – 2 = 0$ hay $a = 2b – 2$. Thay $a = 2b – 2$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {\left {2b – 2} \right^2} + {b^2} – 2\left {2b – 2} \right – 4 = 0$$ \Leftrightarrow 5{b^2} – 12b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2n\\b = \frac{2}{5}\left l \right\end{array} \right.$. Với $b = 2$, ta có $a = 2$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 2 + 2i$. Câu 18. Tìm số phức liên hợp của $z$ thỏa mãn $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$ và $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}$ là số thuần ảo? A. $\overline z = 0$. B. $\overline z = 2i$. C. $\overline z = – 2i$. D. $\overline z = 2$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – i} \right = \left {a – bi + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {{\left {2 – b} \right}^2}} $$ \Leftrightarrow 2a – 2b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow b = a + 2$ 1. Mặt khác $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{a + bi – 2i}}{{a – bi + i}} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}$ $\begin{array}{l} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = \frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2 + \left {2ab – 3a} \righti}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$là số thuần ảo nên $\begin{array}{l}\frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} + 3b – 2 = 0,2\\{a^2} + {\left {1 – b} \right^2} > 0,*\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$. Thay $b = a + 2$ ở 1 vào 2, ta được ${a^2} – {\left {a + 2} \right^2} + 3\left {a + 2} \right – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {a^2} – \left {{a^2} + 4a + 4} \right + 3a + 6 – 2 = 0$$ \Leftrightarrow a = 0$ Với $a = 0$, ta có $b = 2$ thỏa * nên $z = 2i$. Vậy $\overline z = – 2i$. Câu 19. Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left z \right = \sqrt 5 $ và $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5}$? A. $6$. B. $4$. C. $10$. D. $8$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left z \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5$ 1. Mặt khác $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \left {\frac{{{z^2} + {{\left {\overline z } \right}^2}}}{{z.\overline z }}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {\frac{{{{\left {a + bi} \right}^2} + {{\left {a – bi} \right}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {2{a^2} – 2{b^2}} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 3,2\\{a^2} – {b^2} = – 3,3\end{array} \right.$ Từ 1 và 2 ta có$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 1\\b = \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có tất cả 8 số phức thỏa đề. Câu 20. Cho hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ thỏa mãn $\left {{z_1}} \right = 3,\left {{z_2}} \right = 4,\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $. Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ mà $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = x + yi$? A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1$. Lời giải Chọn B Gọi ${z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right$. Theo giả thiết $\left {{z_1}} \right = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9$ 1. $\left {{z_2}} \right = 4 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 16$ 2. $\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $$ \Leftrightarrow {\left {a – c} \right^2} + {\left {b – d} \right^2} = 37$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} – 2ac – 2bd = 37$$ \Leftrightarrow ac + bd = – 6$ Mặt khác $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left {a + bi} \right\left {c – di} \right}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{\left {bc – ad} \right}}{{{c^2} + {d^2}}}.i$$ = \frac{{ – 6}}{{16}} + yi = \frac{{ – 3}}{8} + yi$ Do đó $x = – \frac{3}{8}$ Hơn thế nữa $\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right = \frac{{\left {{z_1}} \right}}{{\left {{z_2}} \right}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \sqrt {{{\left { – \frac{3}{8}} \right}^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{27}}{{64}}$$ \Leftrightarrow y = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$ Vậy có 2 số phức thỏa đề là $z = – \frac{3}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i,z = – \frac{3}{8} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i$. Mức độ 4 Câu 1. Trong mặt phẳng phức, cho $3$ điểm $A,\;B,\;C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1} = – 1 + i,\;{z_2} = 1 + 3i,\;{z_3}$. Biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và ${z_3}$ có phần thực dương. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là A. $\left {2\;;\; – 2} \right$. B. $\left {3\;;\; – 3} \right$. C. $\left {\sqrt 8 – 1\;;\;1} \right$. D. $\left {1\;;\; – 1} \right$. Lời giải Chọn D Giả sử ${z_3} = a + bi$ với $a,b \in R,\;a\; > \;0$ suy ra $C\left {a\;;\;b} \right$. Ta có $A\left { – 1\;;\;1} \right,\;B\left {1\;;\;3} \right$ $ \Rightarrow $ $\overrightarrow {AB} = \left {2\;;\;2} \right,\;\overrightarrow {AC} = \left {a + 1\;;\;b – 1} \right$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 2\left {a + 1} \right + 2\left {b – 1} \right = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = – a\quad \left 1 \right$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {\left {b – 1} \right^2} = 8\quad 2$. Thế $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được ${\left {a + 1} \right^2} + {\left { – a – 1} \right^2} = 8 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = – 3\end{array} \right.$. Vì $a\; > \;0$ nên $a = 1 \Rightarrow b = – 1$. Vậy điểm $C$ có tọa độ là $\left {1\;;\; – 1} \right$. Câu 2. Cho số phức $z$, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức $z$;$iz$ và $z + i\;z$tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$. Mô đun của số phức $z$ bằng A. $2\sqrt 3 $. B. $3\sqrt 2 $. C. $6$. D. $9$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$ nên $iz = ai – b$, $z + i\;z$$ = a + bi – b + ai$$ = a – b + \left {a + b} \righti$ Ta gọi $A\left {a,\,b} \right$, $B\left { – b,\,a} \right$, $C\left {a – b,\,a + b} \right$nên $\overrightarrow {AB} \left { – b – a,\,a – b} \right$, $\overrightarrow {AC} \left { – b,\,a} \right$ $S = \frac{1}{2}\left {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right$ $ = \frac{1}{2}\left { – {a^2} – {b^2}} \right$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left {{a^2} + {b^2}} \right = 18$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6$. Câu 4. Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left {z – m} \right = 6$ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$. A. $10.$ B. $0.$ C. $16.$ D. $8.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có $\frac{z}{{z – 4}} = \frac{{x + iy}}{{x – 4 + iy}} = \frac{{\left {x + iy} \right\left {x – 4 – iy} \right}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left {x – 4} \right + {y^2} – 4iy}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}}$ là số thuần ảo khi $x\left {x – 4} \right + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4$ Mà $\left {z – m} \right = 6 \Leftrightarrow {\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36$ Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36\\{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {4 – 2m} \rightx = 36 – {m^2}\\{y^2} = 4 – {\left {x – 2} \right^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}}\\{y^2} = 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2}\end{array} \right.$ Ycbt $ \Leftrightarrow 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2} = 0$$ \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ hoặc $ – 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ $ \Leftrightarrow m = 10$ hoặc $m = – 2$ hoặc $m = \pm 6$ Vậy tổng là $10 – 2 + 6 – 6 = 8$. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left {z – 3i} \right = \sqrt 5 $ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo? A. 0 B. vô số. C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C Cách 1 Ta có $\frac{z}{{z – 4}} = bi \Leftrightarrow z = biz – 4 \Leftrightarrow zbi – 1 = 4bi \Leftrightarrow z = \frac{{4bi}}{{bi – 1}}$ Khi đó $z – 3i = \left {\frac{{4bi}}{{bi – 1}} – 3i} \right = \left {\frac{{4b + 3i + 3b}}{{bi – 1}}} \right = \sqrt {\frac{{{{4b + 3}^2} + {{3b}^2}}}{{{b^2} + 1}}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow b = – 1,b = – \frac{1}{5}$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + 2i} \right\left z \right = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. $\frac{3}{2} 2.$ C. $\left z \right Đáp án A. Câu 18. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 $ và $w = z + 1 + i$ có môđun lớn nhất. Số phức $z$ có môđun bằng A. $2\sqrt 5 $ B. $3\sqrt 2 $ C. $\sqrt 6 $ D. $5\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Gọi $z = x + yi\quad \left {x,y \in \mathbb{R}} \right\quad \Rightarrow z – 1 + 2i = \left {x – 1} \right + \left {y + 2} \righti$ Ta có $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {x – 1} \right}^2} + {{\left {y + 2} \right}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left {x – 1} \right^2} + {\left {y + 2} \right^2} = 5$ Suy ra tập hợp điểm $M\left {x;y} \right$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn $\left C \right$ tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $R = \sqrt 5 $ như hình vẽ Dễ thấy $O \in \left C \right$, $N\left { – 1; – 1} \right \in \left C \right$ Theo đề ta có $M\left {x;y} \right \in \left C \right$là điểm biểu diễn cho số phức $z$thỏa mãn $w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = \left {x + 1} \right + \left {y + 1} \righti$ $ \Rightarrow \left {z + 1 + i} \right = \sqrt {{{\left {x + 1} \right}^2} + {{\left {y + 1} \right}^2}} = \left {\overrightarrow {MN} } \right$ Suy ra $\left {z + 1 + i} \right$đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow MN$lớn nhất Mà $M,N \in \left C \right$ nên $MN$lớn nhất khi $MN$ là đường kính đường tròn $\left C \right$ $ \Leftrightarrow I$ là trung điểm $MN \Rightarrow M\left {3; – 3} \right \Rightarrow z = 3 – 3i \Rightarrow \left z \right = \sqrt {{3^2} + {{\left { – 3} \right}^2}} = 3\sqrt 2 $ Câu 19. Cho số phức $z$ thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right$, hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất. A. $2$ B. $ \pm i\sqrt 2 $ C. $ – 2$ D. $\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ Khi đó $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right \Leftrightarrow \left {\left {x + 1} \right + yi} \right = \left {x + 3} \right$ $ \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {y^2} = {\left {x + 3} \right^2} \Leftrightarrow {y^2} = 4x + 8$ Ta có $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + 4x + 8} = \sqrt {{{\left {x + 2} \right}^2} + 4} \ge 2$ Dấu = xảy ra khi $x = – 2 \Rightarrow y = 0$. Vậy số phức $z = – 2$. Vậy căn bậc hai của số số phức $z = – 2$ là $ \pm i\sqrt 2 $. Câu 20. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 $, gọi ${z_1}$ là số phức có số phức z có môđun nhỏ nhất và ${z_2}$ là số phức có môđun lớn nhất. Tìm số phức ${z_1} + {z_2}$. A. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ B. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ C. $4i$ D. $2\sqrt 3 i$ Lời giải Chọn C Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$. Ta có $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left {i\left {x + yi} \right + 2} \right = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \left {\left {2 – y} \right + xi} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y – 2} \right^2} = 3$ $ \Leftrightarrow {\left {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right^2} + {\left {\frac{{y – 2}}{{\sqrt 3 }}} \right^2} = 1$ Đặt $x = \sqrt 3 \sin \alpha ,y = 2 + \sqrt 3 \cos \alpha $ thì tìm được $\left z \right$ lớn nhất khi $z = \left {2 + \sqrt 3 } \righti$ và $\left z \right$ nhỏ nhất khi $z = \left {2 – \sqrt 3 } \righti$. Vậy ${z_1} + {z_2} = 4i$
Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước là 1 dạng toán thường gặp trong chuyên đề số phức. Trong dạng toán này các số phức được cho thỏa mãn 1 phương trình bất phương trình hay hệ các bất phương trình cho trước. Nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm số phức đó. Vậy chúng ta cần làm gì khi gặp dạng toán này. Bài viết dưới đây hướng dẫn các em cách tiếp cận bài toán này từ đơn giản đến phức tạp. Các em cùng theo dõi nhé! TÌM SỐ PHỨC Z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN LÀ PHƯƠNG TRÌNH Thông thường, nếu chúng ta thấy trong phương trình chỉ có 1 trong các đối tượng sau z, số phức liên hợp của z hoặc mô đun của z. Thì ta có thể biến đổi trực tiếp để rút gọn. Ngược lại, nếu trong phương trình chúng ta thấy có nhiều hơn 1 đối tượng kể trên. Thì ta phải giả sử z=x+yi x,y∈R. Sau đó biến đổi phương trình đã cho để tiến hành so sánh 2 số phức bằng nhau. Ví dụ 1 Tìm số phức z thỏa mãn 1-iz+3-4i=5i+2. Phân tích Trong phương trình trên thì chỉ có z, nên ta biến đổi để rút z ra là được. Các phép toán với số phức có thể dùng máy tính bỏ túi cho nhanh. Lời giải Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết Số Phức Ví dụ 2 Phân tích Trong phương trình có cả z và số phức liên hợp của z nên thông thường ta đặt z=x+yi, x,y∈R. Sau đó biến đổi để được kết quả. Lời giải Tuy nhiên, trong một số trường hợp trong phương trình có z mà ta đặt z=x+yi, x,y∈R thì ta được hệ khá phức tạp. Trong các trường hợp này nếu bài toán chỉ hỏi về mô đun. Ta có thể biến đổi phương trình sau đó lấy mô đun 2 vế. Chẳng hạn như ví dụ sau đây. Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết Số Phức Ví dụ 3 Lời giải Trên đây là 1 số ví dụ và phương pháp về tìm số phức z thỏa mãn phương trình thường gặp ở mức độ thông hiểu. Đối với các bài toán phức tạp hơn chúng ta cần vận dụng kết hợp các phương pháp trên. Chúc các em thành công! Xem thêm Bài tập số phức đầy đủ các dạng Cách bấm máy tính số phức trên CASIO 580 VNX Số Phức - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức như thế nào ?
Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc \20m/s\ thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m tính từ vị trí đầu xe đến hàng ràovì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \vt = - 5t + 20m/s\, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào?
tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
